1. 证明 $EX_n^+$ 有限.

由于

有

记 $X_n, n \in \N$ 上穿 $(a, b)$ 的次数为 $V(a, b)$, 则

2. 证明 $\Bqty{X_n}$ 以概率 1 收敛于 $X_\infty$.

从而

于是

设 $\nlim X_n(\omega) = X_\infty(\omega)$, 则

3. 证明 $E\vqty{X_\infty} < \infty$.

由 Faton 引理,

证毕.